Доклад В.А. Чусова

Чусов А.В., к.ф.н., доцент кафедры философии и методологии науки философского факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

Математическая модель и экономическая реальность.
Анализ модели равновесия в конкурентной экономике Эрроу-Дебре
Тезисы доклада[1]

 

Объект нашего анализа отношения между математическими средствами и реальностью экономической науки выбран в связи с тем, что он является в определённом смысле показательным. Модель конкурентного рыночного равновесия Эрроу-Дебре, представленная в статье "Existence of an equilibrium for a competitive economy" (1954)[2], считается классическим образцом применения математических методов в экономике. Этот результат фактически стал парадигмой (в смысле "результат как образец") для огромного числа экономистов, институционализирован в практике преподавания и теоретической деятельности во многих странах мира и воспроизводится как основное направление (mainstream) современной экономической науки. С нашей точки зрения, особый интерес в сфере математического моделирования экономической реальности заключается в проблеме построения универсума рассмотрения, в котором меняется состав объектов (эта задача в настоящее время стоит, в частности, в рамках проблематики "инновационной экономики"). Мы попытаемся критически[3] оценить адекватность и применимость общего категориального и понятийного аппарата, а также конструктивные особенности математических выкладок К.Эрроу и Ж.Дебре с точки зрения их отношения к реальности экономической науки. В частности, нас интересуют возможности использования развитых ими представлений в построении модели экономической динамики и, в том числе, модели, включающей развитие рынка посредством введения на него новых товаров.

Сделаем несколько необходимых далее утверждений о статусе и структуре конструкций научных теорий и математических конструкций в научных теориях.

-        Существование теории принципиально связано с введением в её состав объектов, непосредственно не наблюдаемых ("скрытых сущностей", "идеализированных объектов"). В теоретической модели с необходимостью присутствуют как абстрактные, так и идеализированные компоненты.

-        Интерпретация теоретических положений может быть основана на выводах как из абстрактных, так и из идеализированных компонентов (напр., механика Ньютона, существенно основанная как на абстрактных объектах, так и на возможности перевода идеализированных компонентов в абстрактные).

-        Математика как средство представления, используемое в разных науках, является не языком, а семиотической системой, обеспечивающей однозначное представление формальных онтологий в составе предметных областей соответствующих наук. При этом математика обладает собственной абстрактной формальной онтологией (не целостной и не единой).

-        При анализе и оценке интерпретации математической модели, разрабатываемой в конкретной науке, необходимо явным образом учитывать (выявлять) различие между абстрактными и идеализированными реальностями, принимаемыми в рамках работы в предметной области данной науки.

-        В научных теориях важное место имеет математический идеал научной деятельности (не он один, но именно физико-математический идеал долгое время был основным в сознательных методологических установках разных наук). Он, в частности, заключается в представлении о работе учёного в "треугольнике отношений":

a.       между реальностью и начальными теоретическими объектами (абстрагирование и начальная интерпретация базисных объектов),

b.      между теоретическими объектами (самостоятельное производство объектов и отношений между ними в рамках чистой теоретической деятельности),

c.       между производными теоретическими объектами и реальностью (итоговая интерпретация).

Наши утверждения о собственном предмете настоящего доклада в целях более явного отличия их от общих рассуждений будут обозначены Т-N (N=1, 2, …, 11). Общие методологические соображения сведены в Приложении 1.

 

О модели конкурентного равновесия Эрроу-Дебре[4]

В случае применения математических моделей в конкретных науках одним из важнейших вопросов является их интерпретация на внематематической реальности. Для Эрроу и Дебре интерпретация конструируемой модели является задачей по меньшей мере столь же важной, как и собственно доказательства двух сформулированных ими теорем. Об этом свидетельствуют не только интерпретационные пассажи, предваряющие почти каждое сформулированное ими утверждение или выражение, но и утверждения вроде того, что конкурентная модель для некоторых задач является "разумно точным описанием реальности" ("reasonably accurate description of reality", p. 265), или что допущения, принятые в качестве условий теорем, "удовлетворяются в широком разнообразии действительных ситуаций" ("satisfied in a wide variety of actual situations", p. 266).

Мы ставим целью дальнейших рассуждений конструктивный метатеоретический анализ условий интерпретируемости утверждений о существовании равновесного решения в модели Эрроу-Дебре. Непосредственным предметом нашего анализа будут конструкции, вводимые в этой модели.

В первом приближении (в рассматриваемом нами аспекте формальной онтологии модели) условия интерпретации формальных моделей можно подразделить на два типа: а) условия предмета, определяемые содержанием моделируемой предметной области, и б) условия моделирования, определяемые прежде всего спецификой средств моделирования. Поскольку условия моделирования практически всегда остаются неявными, мы будем обращать на них основное внимание.

Наши основные методологические утверждения в рамках последующего анализа модели конкурентного равновесия заключаются в следующем:

-        условия моделирования в контексте интерпретации по отношению к каждой данной предметной области являются (относительно) самостоятельными и могут определять содержание модели, (относительно) независимое от моделируемой предметной области;

-        если считать науку моделированием фрагментов некоторой реальности, то приписывание статуса "доказанного факта" некоторому моделируемому факту предметной области зависит не от гносеологического условия (для индивидуального знания) "степени убедительности отдельных элементов базисной интерпретации", а от эпистемологического условия (для многоуровневой системы знаний) "систематически сведённой формальной онтологической структуры модели";

-        условием существования научного факта является некоторая реальность данной науки, которая может быть как эмпирической, так и абстрактной и идеализированной (в т.ч. в науках существуют производные абстрактные и идеализированные реальности второго, третьего и т.д. порядков).

Сначала опишем общую метатеоретическую структуру модели конкурентного равновесия.

Т-1.          В рассматриваемой статье К. Эрроу и Ж. Дебре (в соответствии со стандартной как математической, так и конкретно-научной практикой):

a.      формулируют основные допущения (assumptions) I-IV своей модели по отношению к первой теореме:

допущение I (p.267), в понятиях:

¨  "замкнутости" и "выпуклости" множества производственных планов,

¨  "принадлежности нулевого вектора" этому множеству,

¨  антисимметричности ненулевых векторов производственных планов по отношению к умножению на (–1)[5];

допущение II (p.268), в понятиях:

¨  "замкнутости, выпуклости и ограниченности снизу" множества векторов потребления;

допущение III, распадающееся на три относительно самостоятельных формулировки (p.269), в понятиях:

¨  III.a. "непрерывности функции полезности" на множестве векторов потребления,

¨  III.b. для каждого из потребителей "отсутствия вектора потребления", обладающего максимальной полезностью,

¨  III.c. "выпуклости функции полезности" на множестве векторов потребления;

допущение IV (p.270), в понятиях:

¨  "существования вектора потребления", по всем продуктовым позициям меньшего, чем вектор начальных запасов каждого потребителя,

¨  "нормирования на единицу" каждой строки матрицы a_ij коэффициентов "дохода" j-ой производственной единицы от продажи своих продуктов i-му потребителю;

b.     дают содержательное обоснование (интерпретацию, сами они называют её "обсуждение" = "discussion") вводимых конструкций на основе обращения к содержательным понятиям экономической науки вроде "производства", "потребления","спроса", "выбора", "предпочтения", и проч.;

c.      формулируют 4 основных условия существования конкурентного равновесия в своей модели в терминах некоторой функции, зависящей от векторных величин:

                                   i.        максимизация скалярного произведения производственных планов и цен (p.268),

                                 ii.        максимизация полезности (utility) на потреблении, при условии учёта запасов и цен (p.271),

                                iii.        положительность вектора цен и его нормирование на единицу (p.271),

                               iv.        условия неравенства, накладываемые как на вектор превышения спроса над предложением, так и на скалярное произведение вектора цен и вектора превышения спроса над предложением (p.271);

d.     формулируют доказываемые утверждения о существовании конкурентного равновесия в контексте явно определяемых допущений;

e.      явно вводят дополнительные конструкции:

                                   i.        "абстрактной экономики" как в общем виде (p.273), так и в ходе обоих доказательств,

                                 ii.        ограниченных множеств, содержащих подмножества абстрактных экономик;

f.       формулируют (но не доказывают) "лемму об абстрактной экономике" (p.274);

g.      доказывают существование конкурентного равновесия по отношению к этим конструктам в двух случаях, один из которых является более слабым (=связанным с менее сильными допущениями);

h.      упоминают смежные результаты – свои или иных учёных (напр., результаты Эрроу и Дебре, относящиеся к проблеме реализации оптимального по Парето размещения ресурсов в случае конкурентного равновесия, p.265; определение точки равновесия в игре по Нэшу, с дополнительной ссылкой на Курно p.273, и т.д., вообще вся историческая часть).

Наши основные утверждения по отношению к модели конкурентного равновесия заключаются в следующем:

Т-2.          Система экономических понятий, используемая для обоснования начальной интерпретации модели Эрроу-Дебре, модифицируется в направлении введения таких теоретических конструктов, которые заведомо имеют математическое решение. Эта модификация начинается с введения представления экономических величин вещественными евклидовыми многообразиями[6] или требований выпуклости основных множеств[7] и продолжается вплоть до преобразований абстрактных экономик в ходе доказательств существования.

2.a   Конструкция модели Эрроу и Дебре связана с принимаемыми уравнениями и неравенствами, общий вид которых был сформулирован ещё Л.Вальрасом.

2.b  Указанные требования проистекают из вида уравнений, которые возможно решить. Тем не менее, такие уравнения вместе со способами их решения далеко не единственны. В частности, абстрактно говоря, можно было бы представлять экономические величины на дискретных моделях посредством целочисленных конструкций. В этом случае вся математика модели, заключающаяся в некотором виде вариационного исчисления, имела бы совсем иное содержание и иной вид.

2.c   Использование вещественных чисел как коэффициентов (в контексте как типичных уравнений и неравенств теории, так и операциональных требований выпуклости основных рассматриваемых множеств) является идеализацией, вводящей специальный тип формальной онтологии модели. При этом происходит переход к непрерывным величинам (продуктов, потребления, цен и др.). Это переход осуществляется в зависимости от интуитивно-содержательного понимания возможности применения математических средств, а не от структуры экономической реальности.

Т-3.          Эрроу и Дебре строят модель "конкурентной экономики" посредством формализации единственного экономического мотива – получения каждым участником рынка максимальной суммарной (валовой) прибыли[8] от всех покупок и продаж продуктов[9] (в отличие от предшествующих исследователей учитывая вклады как потребителей, так и производителей). Тем самым экономическая теория как общая модель воспроизводства богатства (напр., совокупности товаров) редуцируется к теории максимизации денежного богатства[10].

Т-4.          Нереалистичность части их допущений (напр., наличие минимума самообеспеченности для каждого участника рынка – p.270[11]) признают и сами Эрроу и Дебре – это вызвано необходимостью этих допущений для доказательства существования равновесия, причём в рамках рассматриваемой статьи это допущение невозможно существенно ослабить.

Т-5.          Ряд допущений – вроде существования в абстрактной экономике "рыночного агента" как "фиктивного участника" (p.274) – не имеет содержательного обоснования, и фактически не обсуждается.

Т-6.          Дополнительно заметим, что слабым местом модели Эрроу-Дебре с точки зрения полноты и последовательности рассмотрения является фактическое рассмотрение векторов как линейно упорядочиваемых отношением "больше" (определение на p.267), поскольку нигде в статье не упоминается явным образом возможность несравнимости векторов по этому отношению.

Т-7.          Таким образом, модель рыночного равновесия Эрроу-Дебре существенно основана на идеализированных объектах, притом что в ней отсутствуют механизмы перевода идеализированных компонентов в абстрактные. Это позволяет утверждать, что эта модель равновесия является интерпретируемой на экономической реальности лишь частично – в области некоторых её допущений.

Т-8.          Модель Эрроу-Дебре в случае появления на рынке новых участников (как потребителей, так и производителей) претерпевает существенные внутренние преобразования (меняется размерность базисных векторных множеств). При этом новая "абстрактная экономика" является несовместимой с предыдущей "абстрактной экономикой", что принципиально не позволяет вводить в эту модель динамику, связанную с изменением множеств участников рынка.

Т-9.          Модель Эрроу-Дебре несовместима с представлениями о появлении на рынке новых товаров, поскольку она существенно зависит от предположения о наличии у каждого участника рынка набора всех продуктов (выставляющихся на рынок), удовлетворяющего его минимальные потребности. Это принципиально не позволяет вводить в эту модель динамику, связанную с изменением множества предметов торговли.

9.a   В этой модели на рынке всеми участниками одновременно торгуются все возможные продукты, при том условии, что для каждого участника торгов собственный запас каждого продукта превышает набор, удовлетворяющий его минимальные потребности.

9.b  При условии истинности принятых в модели Эрроу-Дебре допущений на рынке принципиально не может присутствовать ограниченная группа участников с уникальным или выделенным (имеющимся не у всех) продуктом (товаром).

Т-10.      Фактически внедрение каждого нового товара в модели Эрроу-Дебре является кардинальным преобразованием рынка как абстрактной экономики в новую абстрактную экономику, в принципе несоизмеримую с прежней.

Т-11.      Неявной предпосылкой рассуждений Эрроу и Дебре является предположение социальной однородности участников рынка.

 

 

Выводы из анализа модели конкурентного равновесия Эрроу-Дебре

1. Итоговая теоретическая реальность модели Эрроу-Дебре является теоретико-математической, разрабатываемой с помощью самостоятельных математических средств на основе некоторых базисных элементов, имеющих экономическую интерпретацию. Но полная конструкция полученных результатов на эмпирической экономической реальности принципиально не интерпретируется.

2. Модель рыночного равновесия, разработанная Эрроу и Дебре, в силу несоизмеримости абстрактных экономик, включающих разные наборы продуктов, в принципе исключает динамику рынка (как связь состояний, сохраняющую какой-либо инвариант типа лагранжиана).

3. Реальное социальное расслоение общества отражается в статусной неравноценности групп товаров и продуктов для потребителей и производителей из разных социальных страт. При этом одновременная максимизация равновесного вектора цен на разных товарных группах в условиях модели Эрроу-Дебре оказывается в принципе невозможной в силу отсутствия у разных страт одинакового базисного вектора запасов.

4. Разработка и внедрение новых товаров (являющихся базисным условием существования инновационной экономики) в принципе не может быть включена в разработанную Эрроу и Дебре модель конкурентного равновесия, т.к. предполагает наличие переходных неравновесных состояний, несовместимых с допущениями данной модели.

 

Общие выводы и утверждения:

А. Рассмотренные методологические и содержательные результаты, полученные в неоклассической парадигме, являются в своей теоретико-методологической части недостаточно обоснованными в отношении к разным типам экономической реальности.

Б. Реальными функциями научных исследований рассмотренного нами типа являются:

-        внутреннее воспроизводство традиции получения результатов, отвечающих математическому идеалу научности, при необходимом условии дисциплинарной обособленности (существование в университетах) от иных направлений экономических исследований

-        мировоззренческое обоснование статуса и значимости этих работ.

В. Перспективным направлением исследований в направлении построения теории инновационной экономики могут стать модели с переменными базисными множествами (модели расширенного воспроизводства) на базе математической теории категорий и функторов.